3.6四股力量的数学表达——公式体系与变量定义
880年，黄巢攻破长安。僖宗从西门出逃。土地兼并攒了一百二十年。均田制崩了，自耕农消失了。连年大旱加蝗灾，南诏在西南用兵。藩镇割据，禁军欠饷半年。含嘉仓式的储备早已耗尽，太仓库空空如也。这一刻，四股力量同时到了极限。
前面五节，函数已经推出来了。但函数里的每个参数为什么这么定，还没有正式交代。这一节就干这一件事：把参数一个一个拆开，讲清楚它的取值依据。
K值定义域的确定：(0.15， 0.85)
王村那三十七户佃户，原来不是佃户。他们和祖辈都是自耕农，有地，有户籍，给朝廷交税。地是什么时候没的？不是一天没的。是一张地契一张地契换名字换没的。灾年借粮，要拿地押。还不上，地就归了债主。税太重，把地贱卖了去逃荒，回来地已经不是自己的了。一户没了，两户没了，一村没了，一乡没了。这个过程，就是K值在往上走。
我一开始把K值的下限定在0，觉得最理想的状态就是人人有地、完全平均。后来翻遍史料，找不到任何一个时期土地是完全平均的。哪怕是贞观年间，也有世业田和口分田的区别，有宽乡和窄乡的区别。完全平均，历史上从来没有过。下限不能是0。后来取0.1，跑数据，贞观被压得太狠，和史实对不上。调到0.15，对上了。
《旧唐书·食货志》载：“丁男给田一顷，笃疾废疾给四十亩，寡妻妾三十亩。所授之田，十分之二为世业，八为口分。“这是最接近平均的状态，但仍然不是完全均等。0.15，就是给这个最均等的状态留了一点余地。
上限也犯过错。一开始取1，觉得土地全部集中到一个人手里才是顶点。后来发现错了。崇祯十三年，河南大旱，人相食。那时候的土地大部分已经集中到藩王、勋贵、豪强手里，但还有小部分在自耕农手里，还有一部分在军屯手里。地契没有全部集中到少数人手里。系统已经崩了，K值还没到1。
所以上限设0.85。超过了这个数，系统已经进入秩序重组，再往上走没有意义了。这里最要紧的是一个历史事实：古代社会的土地兼并从来不会走到绝对集中。为什么？因为王朝会在那之前先崩。豪强想吞地，但吞到一定程度，失地的人会变成流民，流民会变成起义军。吞地的过程被它自己的后果拦住了。所以0.85不是数学上的截断，是古代社会自我打断的边界。唯物辩证法讲量变引起质变，但质变不一定发生在极端值上。系统在K值达到0.85之前就已经崩了。定义域得覆盖实际可能出现的一切状态，但不能包含历史上从未出现的情况。
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K：资源聚集与分配极化系数，简称聚集兼并系数。定义域：(0.15， 0.85)。解释：核心资源在成员间分配极化程度的度量，越高表示资源越集中，体系越接近解体边缘。
三个拐点的确定：0.35、0.55、0.70
王村的事，黄巢站在村口说了一句“谁给饭吃，就是谁的“，当天晚上跟着他的人从三百变成三千。这个爆发力不是偶然，是K值爬过某个点之后的结果。但那个点在哪，我找了很久。
最开始猜0.5。跑代码的时候发现，很多王朝在K值0.4左右已经有流民了，有些王朝在0.5以上还能撑很久。0.5不对。第二次猜0.3。又不对。0.3以下的时候，很多王朝经历了大灾大难，但系统没有崩，因为自耕农还占多数。0.3太早了。
后来把秦、汉、唐、宋、明几个王朝的K值和矛盾烈度画在一张图上，看它们什么时候出流民，什么时候有农民起义，什么时候失控。结果发现，K值在0.35以下的时候，不管外面怎么折腾，系统内部都不出大乱子。自耕农还占多数，人有地，有家，有饭吃，就不会铤而走险。这是最朴素的人性：人还有一口饭吃，就不会拿命去赌。
过了0.35，自耕农大量破产，流民成规模出现。安史之乱后的唐朝就在这个位置。《资治通鉴》记黄巢起事，“民之困于重敛者争归之“。百姓不是被煽动起来的，是被重税逼过去的。过了0.55，进入危险期。税基严重萎缩，朝廷能调动的资源大幅减少，流民数量已经大到可以聚成队伍。黄巢就是在这个区间起来的。过了0.70，就是另一个世界了。《明史·五行志》载：“崇祯十三年，大旱，蝗，人相食。“到了这一步，农业生产秩序已经大面积瓦解。
唯物辩证法管这个叫量变引起质变。量的积累在三个点上各发生一次飞跃，每一次飞跃换一个世界。把十几个王朝的地契流转、流民数量、起义时间放在一起看，都在这三个点上发生转折。分段函数需要一个客观的分段依据，这三个点就是依据。
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K值三个拐点：0.35、0.55、0.70。解释：0.35以下矛盾潜伏，0.35至0.55兼并加速，0.55至0.70进入危险期，超过0.70后社会再生产基本中断。
分段斜率的确定：0.16与0.19
斜率不是先定的，是反推出来的。但反推的过程，我犯过不止一次错。
一开始用线性函数去套整个区间，假设K值和矛盾烈度是匀速关系。跑出来的结果很荒谬。一百二十年里K值一直在走，如果矛盾是匀速涨的，到了黄巢起事的时候，矛盾应该只是中高水平。中高水平的矛盾，改革、赈灾、让步都能化解。可晚唐就是没化解掉。线性函数被证伪了。
然后换指数函数。指数调陡一点，K值刚到0.45，矛盾就顶到满格，晚唐前期一百年的太平说不通。调缓一点，K值到了0.6，矛盾还没到顶，黄巢那种短期之内队伍从几百人变成几万人的爆发力又显得突然。反反复复试了很多组数字，没有一组能同时满足三个时段。
那天晚上，盯着屏幕上那条曲线，忽然意识到问题出在哪里。我一直在用一个函数管全部。但K值从0.35到0.70这段，矛盾的增长速度根本不是一个节奏。三段节奏，三种速度。所以我开始分段。
先找到五档K值的中值。K等于0.20，对应贞观和开元前期的分配状态，A×g在0.007到0.010之间。K等于0.325，对应兼并稍起的阶段，A×g大约0.017。K等于0.475，对应张居正改革前的明朝，A×g大约0.040。K等于0.625，对应晚唐和东汉末，A×g大约0.066。K等于0.775，对应崇祯十三年和隋末，A×g必须顶到0.10。五个点定下来，每段的斜率就藏不住了。
第二段，K从0.35到0.55，涨了0.20，A×g从0.02涨到0.052，涨了0.032。斜率就是0.16。第三段，K从0.55到0.70，涨了0.15，A×g从0.052涨到0.080，涨了0.028。斜率约等于0.19。
这个反推过程，就是花拉子米的还原。把散在史料里的五档情形，还原成一条可以计算的曲线。古代社会矛盾的增长本身就是不均匀的，晚期比早期加速得更快。这一点，站在人的角度也能理解。当大多数人还有地的时候，兼并的速度慢，因为底子厚。当大多数人已经没了地，兼并的速度反而更快，因为剩下那点地成了唯一的肥肉。这种节奏，是古代社会自己的呼吸。
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A×g：内生张力函数，简称内生张力。定义域：(0， 0.10)。当K<=0.35时，A×g=0.02×exp(5×(K-0.35))；当K>0.35并且K<=0.55时，A×g=0.02+0.16×(K-0.35)；当K>0.55并且K<=0.70时，A×g=0.052+0.19×(K-0.55)；当K>0.70时，A×g=0.10。A为资源产出效率系数，简称产出系数；g为资源基础规模，简称资源规模；两者不单独出现。
内生张力上限的确定：0.10
秦末。西汉末。东汉末。隋末。唐末。元末。明末。
把这七个节点摆在一起看，有一个共同点：它们的内生张力全部顶到了0.10。其中最典型的是崇祯十三年和隋末。
崇祯十三年，河南大旱，蝗，人相食，草根木皮皆尽。《明史·流贼传》载：“河南大旱，蝗，人相食，草根木皮皆尽。李自成自均州走河南，饥民从者数万，势大炽。“那时候的A×g按K值0.775算，正好顶到0.10。
隋末，炀帝三征高句丽。《隋书·食货志》载：“大业七年征辽东，士卒填洹水，白骨蔽野。百姓疲于徭役，天下骚动。“那时候的A×g也是0.10。
一开始不知道这个上限是多少。跑代码的时候放过0.12，放过0.15，跑出来的结果和史实对不上。没有哪个王朝能在A×g超过0.10之后还支撑很长时间。0.10就是两千年王朝史反复逼出来的天花板。古代社会的内部压力存在一个不可逾越的顶格值。到了这个值，人已经不是人了，变成了史书上“人相食“的三个字。
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A×g上限：0.10。解释：王朝在秩序重组前夕必然触及的压力上限。超过这个值，系统不可能长时间支撑。
基底扰动常数的确定：0.01
风调雨顺的年份，外部冲击等于零吗？不等于。边境上总有小摩擦。游牧部族抢一把就走。地方上总有小灾。某条河决了口，某个县遭了蝗。这些冲击构不成大乱，但它们确实存在。
贞观年间已经是历史上最太平的时期之一了，也照样有关中旱灾。《旧唐书·太宗本纪》载：“贞观二年，关内旱饥。上开仓赈给，民无流亡。“连贞观年间都有旱灾，你找不到任何一个完全无外患无天灾的年份。
我试过把基底扰动设成零。跑了几段数据，太平年份的E值全是零，公式就只剩三股力量在动。这不对。史书上没有哪一年是完全无事的。后来把基底扰动调到0.01，跑出来的结果和史料对上了。唯物辩证法讲，外因是变化的条件，内因是变化的根据。外部摩擦永远存在，但能不能变成大乱，取决于系统内部接不接得住。0.01，就是承认这个永远存在的小摩擦。
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E0：基底扰动常数，简称扰动常数。E0 = 0.01。解释：风调雨顺也必然存在的最小外部摩擦。
聚集放大系数的确定：0.10
贞观二年，关中大旱。崇祯十三年，河南大旱。气象学上同一等级。贞观二年，李世民开洛阳仓运粮，富户不敢囤积，灾民没有流亡。崇祯十三年，崇祯天天写诏书，诏书到了地方像石头掉进深井，饥民往李自成的队伍里跑。
同样的天灾，为什么结果完全不同？我一开始把外部冲击设成一个独立常数，天灾多强，冲击就多大。跑出来的结果和史实完全对不上。贞观的旱灾很快被平息，系统连安全线都没碰到。崇祯的旱灾叠加其他冲击，系统崩了，王朝没了。同样的冲击值，解释不了两种完全不同的结局。
后来写了一段代码，把天灾强度设成固定值，再让K值去调它。跑出来的结果和贞观、崇祯两段历史完全对上了。K值越高，同样的天灾杀伤力越大。aE等于0.10，意味着K值每增加0.1，外部冲击就被额外放大0.01。贞观和崇祯之间，K值差了将近0.4，外部冲击就被额外放大了0.04。同样一场旱灾，贞观的有效冲击只有0.03，崇祯的有效冲击接近0.10。
《资治通鉴》卷一百九十二载：“关中旱，民多卖子以接衣食；己酉，诏出御府金帛为赎之，归其父母。“贞观年间的旱灾，被系统接住了。《明史·流贼传》载：“崇祯十三年，河南大旱，蝗，人相食，草根木皮皆尽。“崇祯年间的旱灾，被系统放大了。唯物辩证法管这个叫外因通过内因而起作用。天灾从来不是单独杀人的。在古代社会，是天灾加上土地兼并，两个东西合在一起才杀人。自耕农有地的时候，旱灾来了还能扛一扛，家里有余粮，朝廷还能赈济。自耕农没了地，旱灾一来就是活不下去。同样的天，同样的地，不同的人。
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aE：聚集放大系数常数，简称聚集放大常数。aE = 0.10。解释：K值放大外部冲击的固定系数。分配越不均，外部冲击越容易被放大。
管控衰减放大系数的确定：0.05
管控效能衰减，也会放大外部冲击。这件事一开始没注意到。一开始只让K值放大E值，没让管控效能参与进来。结果贞观年间对得上，崇祯年间差一点。崇祯年间的E值总是不够高，和史实对不上。
后来想到了《论法的精神》。孟德斯鸠讲过一个标志：政体效能衰减的特征之一，是法律失去普遍适用性。贞观二年富户不得囤积的命令之所以有效，是因为行政系统还能执行。崇祯年间，朝廷也下赈灾诏令，字面意思差不多。但诏令从北京到县衙之后，地方官扔到一边，继续给自家收租。同样的法律条文，在一个时期是铁栅栏，在另一个时期是橡皮筋。
这里要补一句。E函数里的1-B×b/(B0×b0)，衡量的是当前管控乘积距离理论最优值衰减了多少。衰减越多，外部冲击被放大得越狠。贞观年间管控乘积接近最优值，这一项趋近于零。崇祯年间管控乘积跌到谷底，这一项贡献很大。bE等于0.05，就是给这一项加的放大系数。它比aE小，因为管控衰减是第二层的放大，分配不均是第一层。两层一起作用，外部冲击才会从微风变成飓风。古代社会最怕的不是天灾本身，是天灾来的时候朝廷已经指挥不动了。
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bE：管控衰减放大系数常数，简称管控衰减常数。bE = 0.05。解释：管控效能衰减放大外部冲击的固定系数。管控越差，外部冲击越容易失控。
初始最大值的确定：B0=0.085，b0=0.95
B是顶层决策能力。最好的皇帝，最好的中枢，最好的官僚系统，决策也不可能完美。李世民在贞观年间已经算是历史上顶层效能最高的时期之一了，但他照样会判断失误，照样有决策被臣下驳回。
《贞观政要》里记了很多李世民和臣下的争执。魏徵经常不给他面子。李世民有时候气得要杀人，回去想想又算了。这说明最顶层的决策效能也不是1。人不是神。B的上限定在0.085。
b是执行留存比例。最好的官僚系统，政令从顶层传到基层，也必然存在少量损耗。古代社会没有电话，没有网络，政令靠人骑马传递，靠胥吏层层抄写。每一层都会走样。百分之百的传导，历史上不存在。b的上限不能是1，定0.95。
这两个数，一开始设得更高。B设成0.1，b设成1。跑出来的结果和史实对不上。设成1意味着政令可以无损传导，这在古代社会是不可能的。0.95已经是最乐观的估计了。孟德斯鸠讲中间群体消亡是政体效能衰减的最可靠标志。B和b的上限，对应的是中间群体完整存在、官僚体系运转良好的最优状态。贞观年间接近但没有达到这个最优值。古代社会的治理效能天然存在损耗，这是官僚体系的物理限制。两个上限相乘，B0×b0等于0.08075，这是理论上管控效能乘积的最大值。
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B0：管控效能初始最大值，简称管控初始上限。B0 = 0.085。解释：顶层决策效能的理论上限。
b0：执行系数初始最大值，简称执行初始上限。b0 = 0.95。解释：政令留存比例的理论上限，承认永远存在少量损耗。
B0×b0：管控效能初始最大乘积，简称管控最大乘积。B0×b0 = 0.08075。解释：顶层与执行同时最优时的理论最大管控效能。
侵蚀速率与连带衰减常数的确定：1.5与1.2
管控效能是被K值和W值联手拖垮的。但这两个数具体是多少，跑了很久的代码才定下来。
K值每上升0.1，管控衰减因子的指数项就增加0.15。这是gammaK等于1.5的作用。地方豪强坐大之后，朝廷派下去的官员要看豪强脸色。政令到了地方，要么变样，要么执行不动。这个过程不是线性的。一开始把gammaK设成1.0，管控衰得太慢，和晚唐藩镇割据对不上。设成2.0，又衰得太快，和明朝中期对不上。最后调到1.5，数据才和史料吻合。
etaW等于1.2，是W值下降对管控的连带打击。仓库空了，士兵发不出饷，官吏发不出俸，灾民没有粮。缺饷的兵会不稳，缺粮的民会流亡，缺俸的吏会懈怠。管控系统从内部开始瓦解。1.2比gammaK小，因为兜底能力的下降对管控的打击是第二位的，分配不均才是第一位的。
《资本论》讲社会再生产的底线是劳动者能维持基本生存。这个底线一旦被击穿，管控系统就从内部开始瓦解。古代王朝晚期，土地兼并和仓储枯竭总是同时发生，共同把管控效能推到谷底。这两个数，就是这两种力量各自的侵蚀速度。
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gammaK：管控侵蚀速率常数，简称管控侵蚀速率。gammaK = 1.5。解释：K值每上升一个单位对管控效能的侵蚀速度。
etaW：承载力连带衰减常数，简称承载力连带衰减。etaW = 1.2。解释：W值下降时对管控效能的连带打击强度。
保底比例与耗散速率的确定：0.15与0.04
含嘉仓从满到空，隋朝只用了二十多年。
《隋书·食货志》载：“中外仓库，无不盈积。“这是隋文帝时期。后世考古发掘含嘉仓遗址，探明粮窖四百多座，储粮总量超过四百万石。按当时的人口算，这些粮食够全天下人吃五十年。
十八年后，612年，隋炀帝大业八年，辽东。《隋书·食货志》又载：“大业七年征辽东，士卒填洹水，白骨蔽野。百姓疲于徭役，天下骚动。“同一个含嘉仓，粮车日夜从洛阳往辽东跑。三次征伐下来，隋朝的粮仓也空了。
一开始设W函数的时候，没有加保底比例，觉得储备可以降到零。跑出来的结果和史实对不上。因为即使在最极端的情况下，地里还能刨出点吃的，还有一部分耕地在产出。储备不会真的归零。后来加了保底比例0.15。
lambdaW等于0.04，是耗散速度。含嘉仓在隋文帝时期接近满仓，W值接近0.085的理论上限。隋炀帝大业末年，二十多年过去，K值急剧上升，仓库基本空了，W值逼近保底值。二十多年，从0.085耗散到接近0.0125。反推回去，lambdaW等于0.04正好对应这个耗散速度。
《资本论》讲社会再生产的底线是劳动者能维持基本生存。这个底线存在一个保底值，不会因为灾害和战争完全消失。古代社会的生存底线最终取决于土地本身。只要还有耕地，就还能产出一点东西。人只要还有一口吃的，就不会全部倒下。
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W：基础生存保障阈值，简称兜底承载力。定义域：(0， 0.085)。W = W0×(0.15+0.85×exp(-lambdaW×K×t age))。W0 = 0.085，承载力初始最大值。lambdaW = 0.04，资源耗散速率常数。t age为系统存续时间。0.15为保底比例，0.85为衰减部分的初始比例。
四股力量合在一起
每一个参数都有它的故事。K的定义域来自贞观和崇祯。三个拐点来自十几个王朝的流民数量和起义时间。0.16和0.19来自五档历史截面的反推。0.10来自七次王朝崩溃的反复验证。E0来自几千年里找不到一个完全无外患的年份。aE来自贞观和崇祯两级旱灾的对比。bE来自法律失效的历史标志。B0和b0来自官僚体系不可消除的损耗。gammaK和etaW来自藩镇割据和仓储枯竭。lambdaW和0.15来自含嘉仓的满和空。
四股力量，两个推，两个拉。推的两股相加，拉的两股也相加，然后对销。这个对销动作，就是花拉子米的第二个动作：等式两边方向相反的力互相抵消，剩下的净值才是真正推动系统的力量。唯物辩证法管这个叫矛盾双方的对立统一。
F = A×g + E - B×b - W
《资本论》照亮了经济基础，K值和W值都从这里来。《论法的精神》照亮了上层建筑，B值和b值都从这里来。唯物辩证法给了量变质变规律和外因内因关系。花拉子米的还原与对销，给了全部运算的底层动作。
公式形式在3.5节已经定下来。这一节把参数一个一个拆开，每一个数都有它来自哪里、为什么是这个数。从这一节开始，全书任何章节用到这些参数，都只引用这一节的结论，不再重新解释。
这些数字不是我拍脑袋想出来的。是几十段史料、几百次代码迭代、几十个深夜推导的结果。大数定律在背后起作用：单个案例可能误判，但样本足够多的时候，真实规律会从噪声中浮出。这些数字，就是从噪声里浮出来的规律。
——
本节全部变量与常量总表
变量：
F：系统整体压力系数，简称系统压力。由静态总压力公式计算得出，不需要单独赋值。解释：四股力量对销后的净值，全书总闸门。
K：资源聚集与分配极化系数，简称聚集兼并系数。定义域：(0.15， 0.85)。解释：核心资源在成员间分配极化程度的度量，越高表示资源越集中，体系越接近解体边缘。
A：资源产出效率系数，简称产出系数。定义域：不单独赋值。解释：特定文明形态下核心资源的单位产出效率。
g：资源基础规模，简称资源规模。定义域：不单独赋值。解释：特定文明形态下核心资源的自然禀赋与基础规模。
A×g：内生张力函数，简称内生张力。定义域：(0， 0.10)。解释：由核心资源分配极化驱动的社会内部矛盾烈度。
E：外部冲击系数，简称外部冲击。定义域：(0.01， 0.10)。解释：外部军事压力、自然灾害、疫病流行等对社会系统施加的压力。
B：顶层管控效能，简称顶层管控。定义域：(0.005， 0.085)。解释：政权在顶层决策层面维持秩序、动员资源、贯彻意志的效能。
b：执行体系衰减系数，简称执行衰减系数。定义域：(0.05， 0.95)。解释：政令从顶层传到基层后的留存比例，永不等于0，因为法统尚未消失。
B×b：管控效能乘积。解释：顶层决策效能与执行留存比例的乘积，是政权实际管控效能。
W：基础生存保障阈值，简称兜底承载力。定义域：(0， 0.085)。解释：社会系统通过储备、产出或外部输入维持成员基本生存的能力。
t age：系统存续时间。t为时间变量，age为存续年限，全书连写。
常量：
a：兼并张力系数，简称兼并系数。a = 0.02。解释：把K值转化为内生张力的基准放大比例。
E0：基底扰动常数，简称扰动常数。E0 = 0.01。解释：风调雨顺也必然存在的最小外部摩擦。
aE：聚集放大系数常数，简称聚集放大常数。aE = 0.10。解释：K值放大外部冲击的固定系数。分配越不均，外部冲击越容易被放大。
bE：管控衰减放大系数常数，简称管控衰减常数。bE = 0.05。解释：管控效能衰减放大外部冲击的固定系数。管控越差，外部冲击越容易失控。
B0：管控效能初始最大值，简称管控初始上限。B0 = 0.085。解释：顶层决策效能的理论上限。
b0：执行系数初始最大值，简称执行初始上限。b0 = 0.95。解释：政令留存比例的理论上限，承认永远存在少量损耗。
B0×b0：管控效能初始最大乘积，简称管控最大乘积。B0×b0 = 0.08075。解释：顶层与执行同时最优时的理论最大管控效能。
gammaK：管控侵蚀速率常数，简称管控侵蚀速率。gammaK = 1.5。解释：K值每上升一个单位对管控效能的侵蚀速度。
etaW：承载力连带衰减常数，简称承载力连带衰减。etaW = 1.2。解释：W值下降时对管控效能的连带打击强度。
W0：承载力初始最大值，简称承载力上限。W0 = 0.085。解释：社会储备与产出能够支撑基本生存的理论上限。
lambdaW：资源耗散速率常数，简称资源耗散速率。lambdaW = 0.04。解释：时间和兼并对兜底承载力的消耗速度。
r：治理负债自然衰减常数，简称负债衰减常数。r = 0.08。解释：过去强制过载损伤随时间的自然修复速率。